Matematika parabola

Parabola je geometrická křivka a graf kvadratické funkce, vyjádřené jako f: y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Vypadá jako písmeno U nebo obrácené U a má vrchol, který je buď minimem nebo maximem. Parabola je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Průsečíky s osami a vrchol paraboly se zjišťují pomocí matematických výpočtů a vzorců. Koeficienty a, b, c ovlivňují tvar, šířku a posun paraboly.

Jak zjistíme průsečíky kvadratické funkce se souřadnicovými osami? 
Máme funkci f: y = x² – 6x + 8. Průsečíky s osou x zjistíme, pokud vyřešíme kvadratickou rovnici: x² – 6x + 8 = 0. V tomto příkladu jsou řešením rovnice x1 = -4 a x2 = -2. Průsečík s osou y zjistíme, pokud do zápisu dosadíme za x = 0, tzn. y = 0² – 6.0 + 8 => y = 8.

Jak zjistíme vrchol paraboly?
Pro zjištění souřadnic vrcholu paraboly se používá vzorec -b/2a, který určuje x-ovou souřadnici vrcholu. Y-ovou souřadnici pak lze vypočítat dosazením této x-ové souřadnice zpět do rovnice paraboly. Tento postup umožňuje přesné určení polohy vrcholu paraboly v souřadnicovém systému.

Co ovlivňují koeficienty kvadratické funkce?
Podoba paraboly závisí na hodnotě kvadratického koeficientu a:

• Pro a > 0 (kladný koeficient) má parabola tvar "U" a dosahuje minima.
• Pro a < 0 (záporný koeficient) má parabola obrácený tvar "U" a dosahuje maxima.
• Velikost koeficientu a také ovlivňuje šířku paraboly.

Konstantní člen c určuje, kde parabola protíná osu y.

Příklady

1. Je dána funkce y = x². Určete souřadnice vrcholu paraboly. Vyjádřete tuto funkci pomocí tabulky, pro hodnoty x zadejte x-ovou souřadnici vrcholu a dále tři celá čísla nalevo od vrcholu a tři napravo. Hodnoty z tabulky znázorněte také v grafu. (V [0;0])
2. Je dána funkce y = -2x² + 4x. Určete souřadnice vrcholu paraboly. Vyjádřete tuto funkci pomocí tabulky, pro hodnoty x zadejte x-ovou souřadnici vrcholu a dále tři celá čísla nalevo od vrcholu a tři napravo. Hodnoty z tabulky znázorněte také v grafu. (V [1;2])
3. Je dána funkce y = x² – 5. Načrtněte graf funkce, vyznačte v něm souřadnice vrcholu a průsečíky s osou x. (V [0;-5]; průsečíky s osou x [–5;0] a [5;0])
4. Je dána funkce y = 5x² – 3x + 2. Načrtněte graf funkce, vyznačte v něm souřadnice vrcholu a průsečíky s osou x. (V [0,3;1,55]; průsečíky s osou x nejsou)